সেট, কিন্তু কিসের?

একদিন ঠিক করলাম রাজশাহী বেড়াতে যাবাে। গুগল করে জানতে পারলাম, রাজশাহী যাওয়ার জন্যে স্থলপথে a টি বাস,নদীপথে b টি নৌকা এবং আকাশপথে c টি বিমান পাওয়া যাবে। কিন্তু আমি কেবল একটি মাধ্যমেই রাজশাহী যেতে পারব। তাহলে রাজশাহী যাওয়ার মােট কতটি উপায় রয়েছে?

যেহেতু আমাকে বাস বা নৌকা অথবা বিমান যেকোনাে একটি মাধ্যম নির্বাচন করতে হবে।

তাহলে আমার কাছে মােট উপায় থাকবে (a+b+c)। এখান থেকে বুঝা গেলাে, X কাজ করার জন্য যদি a টি ভিন্ন ভিন্ন উপায় এবং Y কাজ করার জন্যে b টি ভিন্ন উপায় থাকে তবে আমি ঐ কাজটি মােট (a+b) টি উপায়ে করতে পারব।

সুতরাং দুটি নিচ্ছেদ সেট X,Y এর জন্য

X ∪ Y = (a + b) যেখানে a ও b যথাক্রমে X ও Y এর উপাদান সংখ্যা।

এখন ধরি X সেটটি হচ্ছে কিছু মানুষের সেট, যারা এই পােস্টে রিয়েক্ট করছে। আবার Y সেটের মানুষগুলাে শুধু পােস্ট পড়ছে, রিয়েক্ট করছে না। তাদের মধ্যে আমরা একজনকে বাছাই করতে পারি (a+b) উপায়ে। কিন্তু একজন মানুষ তাে দুটি কাজই করতে পারে অথবা X ও Y সেট দুটির মাঝে সাধারণ উপাদান থাকতেই পারে। তখন একজনকে বাছাই করার উপায় সংখ্যা (a+b) হবে না কারণ সাধারণ উপাদানটিকে দুবার গণনা করা হচ্ছে।

সুতরাং, সাধারণ উপাদান বিদ্যমান যেকোনাে সসীম সেট X Y এর জন্য (X ∪ Y) = (a+b) - (X ∩ Y).

একইভাবে যদি আমরা তিনটি সেটের ইউনিয়নের উপাদান সংখ্যা বের করতে যাই ;

(X ∪ Y ∪ Z) = ( a + b + c ) - (X ∩ Y) - (X ∩ Z) - (Y ∩ Z) + (X ∩ Y ∩ Z) যেখানে a,b,c যথাক্রমে X, Y, Z এর উপাদান সংখ্যা।

n টি সেট A₁, A₂ .... Aₙ এর জন্য

(A₁ ∪ A₂ ....∪ Aₙ) = (x₁+..+ xₙ) - (A₁ ∩ A₂) - (A₂ ∩ A₃) .... - (Aₙ₋₁ - Aₙ) + (A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) ..... + (Aₙ₋₂ ∩ Aₙ₋₁ ∩ Aₙ) - ... যেখানে x₁,x₂ ... xₙ যথাক্রমে A₁, A₂ ... Aₙ এর উপাদান সংখ্যা।

অর্থাৎ, n সংখ্যক সেটের ইউনিয়নের উপাদান সংখ্যা বের করতে হলে প্রথমে " সবগুলো সেটের উপাদান সংখ্যা করে প্রতি দুইটি সেটের Intersection এর উপাদান সংখ্যা দিয়ে, প্রতি তিনটি সেটের Intersection এর উপাদান সংখ্যা যোগ করতে হবে। এ পদ্ধতিকে PIE - Principal of Inclusion and Exclusion বলা হয়।

সমস্যা : 1 থেকে 100 এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা 2,3,5 এর অন্তত একটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য?

PIE ব্যবহার করে সমস্যাটির সমাধান করতে পারবে কি?

- Tanvir Ahmed

Faridpur Zilla School