ম্যাথেম্যাটিকাল ইনডাকশনঃম্যাথেম্যাটিকাল স্টেটমেন্ট প্রমাণের একটি জাদুকরী উপায়

Gopal Chandra Das Faridpur Zilla School Admin Infinity Math Club

Induction is awesome and should be used to its full potential. - Jacob Tsimerman

গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি বা mathematical induction গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ টেকনিক।গণিত অলিম্পিয়াডের বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময় আমাদের মাথায় বিভিন্ন ফর্মুলা আসে। কিন্তু আমরা নিশ্চিত হতে পারি না তা সঠিক কিনা। আবার সঠিক হলেও তা প্রমাণ করতে পারিনা। এই সকল ক্ষেত্রেই গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি আমাদের সামনে দেবদূত হিসেবে হাজির হয়।ইন্ডাকশন ইউজ করে আমরা অনেক ম্যাথমেটিক্যাল স্টেটমেন্ট ইজিলি প্রুফ করতে পারি। চলো দেখে আসা যাক জিনিসটা কি! Principle of mathematical induction

ইনডাকশনের মূলত তিনটি ধাপ- 1. Proof of base case 2. Inductive hypothesis 3. Induction step

অর্থাৎ P(n) যদি একটি ম্যাথমেটিক্যাল স্টেটমেন্ট গাণিতিক বাক্য হয়- 1. দেখাতে হবে P(1) এর জন্য এটি সত্যি (proof of base case) 2. এরপর ধরে নিতে হবে P(k) এর জন্য স্টেটমেন্ট সত্যি।(inductive hypothesis) 3. এরপর P(k) কে সত্য ধরে P(k+1) কে সত্য দেখাতে পারলেই আমাদের প্রমাণ শেষ।(Induction step) তোমাদের কাছে হয়তো ব্যাপারটি কেমন যেন লাগছে। ইন্ডাকশন ফিল করার জন্য একটি বহুল প্রচলিত এনালজি আছে , ডমিনো এনালজি। তোমরা ইউটিউবে mathematical induction Domino analogy লিখে সার্চ দিলে অনেক ভিডিও পেয়ে যাবে এবং ইনডাকশনের ব্যাপারটি ফিল করতে পারবে। এবার চলো আমরা কিছু প্রবলেম দেখে আসি। করো একটি ম্যাথমেটিক্যাল স্টেটমেন্ট- P(n): 1+2+3+........+n= {n(n+1)}/2 এর প্রমাণ তোমরা অষ্টম শ্রেণীতে পড়েছ বা কেউ হয়তো আগে পড়ে থাকতে পারো। তোমরা তখন যেটা ব্যবহার করেছ তা হল গাউসিয়ান পেয়ারিং টুল যা মহান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিক গাউস 7 বছর বয়সে শ্রেণিকক্ষে বসে আবিষ্কার করেছিলেন। তোমরা দেখতে চাইলে কাহিনীটি গুগোল করে দেখে নিতে পারো। কিন্তু এখন আমরা বিষয়টি অন্য ভাবে প্রমাণ করব। আমরা এটিকে ইন্ডাকশন ইউজ করে প্রমাণ করব। চলো দেখে নেওয়া যাক প্রমাণ টি।

# প্রমাণ করো যে , 1+2+3+..........+n= {n×(n+1)}/2

Base Case: P(1):1= {1×(1+1)}/2=1 তাই বলা যায় বেস কেসের জন্য এটি সত্যি। Inductive hypothesis: ধরি P(n) সত্যি , অর্থাৎ 1+2+3+......+n= {n(n+1)}/2 Induction step: এখন আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে P(n+1) ও সত্যি । অর্থাৎ , P(n+1)= {(n+1)(n+2)}/2 এখন, P(n+1):1+2+3........+n+n+1 =[{n(n+1)}/2]+ (n+1) = (n²+n+2n+2)/2 = {n(n+1)+2(n+1)}/2 = {n+1)(n+2)}/2 [Proved] আমাদের প্রমাণটি সম্পন্ন হয়েছে। এতোটুকু যদি বুঝে থাকো তাহলে তোমাকে কনগ্রাচুলেশনস। তুমি ইনডাকশনের বেসিক ধারণা টি শিখে নিয়েছে। তবে যেতে হবে বহুদূর। এই প্রবলেমটি তে কিসের উপর ইন্ডাকশন চালাতে হবে তা বোঝা যাচ্ছে।কিন্তু গণিত অলিম্পিয়াডে তুমি যে ধরনের প্রবলেম ফেস করবে তাতে কিসের উপর ইন্ডাকশন চালাতে হবে এটাই মেইন চ্যালেঞ্জ। আর এখন তোমরা যা শিখলে তা হলো উইক ইন্ডাকশন। তাছাড়াও কশির ইন্ডাকশন এবং স্ট্রং ইন্ডাকশন শিখতে হবে। ভবিষ্যতে এটা নিয়েও তোমাদের জন্য আর্টিকেল আসবে। ততক্ষণ পর্যন্ত কিছু প্রবলেম থাক তোমাদের জন্য ।নিচের প্রবলেমগুলো

ইন্ডাকশন দিয়ে প্রমাণ করো। Problem Set: 1) 1²+2²+3².......+n²= {n(n+1)(2n+1)}/6 2) 1³+2³+3³+......+n³= {n²(n+1)²}/4 3) Fn= [{(1+√5)/2}^n - {(1-√5)/2}^n]/ √5 [ এখানে Fn হলো n তম ফিবোনাচ্চি সংখ্যা]